음 아마 비둘기보단 똑똑할꺼야

부울함수의 보수

부울함수 F의 보수는 F바

부울함수 F = X바YZ바 + X바Y바Z 의 보수를 구하시오

F바 = (X바YZ바 + X바Y바Z)바 = (X바YZ바)바 ● (X바Y바Z)바
     = (X + Y바 + Z) ● (X + Y + Z바)

● = 도트 라고 읽는다

드모르간 정리를 이용
   - AND와 OR를 서로 바꾸고, 각 변수의 보수를 취한다.

1. 부울대수

2. 부울함수의 정규형 및 표준형(정규형을 간략하게 만든것)

1) 정규형 (입력변수 XYZ 인 3변수가 모두 포함되서 표현되는 것)

- 부울함수를 최소항의 합(sum of minterm) 이나 최대항의 곱(product of maxterm) 으로 표현한 것

1-1) 최소항과 최대항

2개의 논리변수 X, Y가 있을 때

최소항: 논리곱(AND)으로 표현되는 4개(XY, XY바, X바Y, X바Y바)의 항 (그 결과가 논리값 1)
최대항: 논리합(OR)으로 표현되는 X + Y, X바 + Y, X + Y바, X바 + Y바 의 네 가지 항 (그 결과가 논리값 0)

최소항과 최대항은 서로 쌍대 관계가 있다.

1-2) 최소항
        - n개의 논리변수로 구성된 부울함수에서 최소항이란
            * 각 변수의 문자 1개씩 모두 n개의 문자의 논리곱 항으로서
            * 그 결과가 논리값 1 인 경우
            * Mj로 표시 ex) 2개의 논리변수 X, Y의 경우에는 m0, m1, m2, m3로 4가지라고 표현으로 쓸 수 있다.

(그림 최소항 진리표)


 

1-3) 최대항
        - n개의 논리변수로 구성된 부울함수에서 최대항이란
            * 각 변수의 문자 1개씩 모두 n 개의 문자의 논리합 항으로서
            * 그 결과가 논리값 0 인 경우
            * Mj 로 표시

(그림 최대항 진리표)

 

1-4) 진리표를 부울함수로 표현 (최소항의 합 형태로)

(그림 진리표를 부울함수로 표현(최소항의 합))

최소항을 각각 모두 구한 뒤 OR 결합 (합) 으로 묶어주면 된다.

1-5) 진리표를 부울함수로 표현 (최대항의 곱 형태로)

(그림 진리표를 부울함수로 표현(최대항의 곱))

 


논리값이 0 이되는 최대항을 모두 구한 뒤 논리곱 연산자로 모두 결합해주면 된다.

2) 최소항의 합으로 부울함수 표현
    - 진리표에서 출력이 1 이 되는 최소항들을 논리합(OR)으로 묶으면 정규형 부울함수가 구해진다.
        진리표에서 출력이 1이 되는 항들만 골라서 OR(+로 묶는다)해주면 된다.
        진리표에서 출력 F가 1이 되기 위해서는 001, 100, 111 중에 하나이면 된다.
        001 = X바Y바Z , 100 = XY바Z바, 111 = XYZ
        따라서 F = X바Y바Z + XY바Z바 + XYZ

   - 부울함수 F = X + YZ바 를 최소항의 합으로 표현하시오

3) 최대항의 곱으로 부울함수 표현
    - 진리표에서 출력이 0 이 되는 최대항들을 논리곱(AND)으로 묶으면 정규형 부울함수가 구해진다.
        진리표에서 출력이 0이 되는 항들을 AND로 표현해 준다.
        진리표에서 출력 F가 0이 되기 위해서는 000, 010, 011, 101, 110 중에 하나이면 된다.
        따라서 F = (X + Y + Z)(X + Y바 + Z)(X + Y바 + Z바)(X바 + Y + Z바)(X바 + Y바 + Z)

- 부울함수 F = XY + X바Z를 최대항의 곱으로 표현하시오.

다른 표현으로 F = M0 · M2 · M4 · M5
F(X,Y,Z) = πM(0,2,4,5)

 

4) 표준형

- 부울함수를 표현하는 또 다른 형태(간소화된 형태)
- 각 항은 하나 또는 그 이상의 문자로 구성
- 곱의 합(sum of products) 합의 곱(product of sums)의 형태

정규형은 진리표에서 바로 얻을 수 있지만, 최소항 또는 최대항에 모든 변수가 포함되어 있어 부울함수의 간소화에는 부적합

따라서 정규형으로부터 간소화된 표준형으로 변환이 필요

4-1) 곱의 합

(표준형을 구하기위해서는 정규형을 먼저 구한 후 정규형을 간소화하면 표준형 부울함수가 도출된다.)


01. 논리연산

2진 디지털 시스템에서 입출력 관계를 표현하는 방법
    - 그래프나 진리표로 표시
    - 논리함수로 표시
        * 입력에 따라 변수가 어떻게 변하는가를 나타내는 함수로 표현
        * 입력이 2진 논리값이므로 논리함수 (F = X)로 나타낸다.

1) 논리연산의 개요

2) 논리집합과 논리연산

2-1) 논리집합(부울집합)
    - 집합이 0(거짓)과 1(참)으로만 구성된 집합 {0,1}
2-2) 논리연산(부울연산)
    - 두 개의 이산값에 적용되는 연산
2-3) 논리집합 {0,1}에 대한 세 가지 논리연산
    - AND 연산
    - OR 연산
    - NOT 연산


 

02. 논리게이트

1) 기본 논리게이트

AND, OR, NOT 게이트

1-1) AND 게이트

F = XY (X Y 사이의 도트 생략)
입력은 왼쪽에서 출력은 오른쪽으로
(그림 AND게이트) 반달모양으로 표현한다.


 

1-2) OR 게이트

F = X + Y (반달에서 입력쪽이 움푹 들어가게 표현한다.)
논리합은 입력으로 모두 거짓이 들어왔을때만 거짓이고 참이 하나만 있어도 출력이 참이다.

1-3) NOT 게이트

F = X (오버바) (세모에 출력에 조그마한 원이 있다.)
(그림 NOT 게이트)



2) NAND 게이트와 NOR 게이트

2-1) NAND 게이트

F = XY(오버바(NOT)) 
AND 게이트의 반대 참과 참이 입력되었을때는 거짓이고 나머지는 전부 1
(그림 NAND게이트)

2-2) NOR 게이트

F = X+Y(오버바(NOT)) 
(그림 NOR게이트)

3) XOR 게이트와 XNOR 게이트

X = EXCLUSIVE

3-1) XOR 게이트

서로 다른 입력이 들어올때만 출력에 참이 된다.
(그림 XOR게이트)

3-2) XNOR 게이트

서로 같은것이 들어올때만 1이되고 다르면 0이된다.
(그림 XNOR게이트)


03. 부울대수(Boolean Algebra)

1) 부울대수의 개요

부울대수: 0과 1의 값을 갖는 논리변수와 논리연산을 다루는 대수
부울함수: 논리변수의 상호관계를 나타내기 위해 부울변수, 부울연산기호, 괄호 및 등호 등으로 나타내는 대수적 표현

1-1) 부울함수와 논리회로도

- 부울함수는 논리 게이트들로 구성되는 논리회로도 작성 가능

1-2) 부울함수와 진리표

- 진리표(truth table)
    * 논리변수에 할당한 0과 1의 조합의 리스트

- 부울함수는 진리표로 나타낼 수 있다.

관계
    - 부울함수에 대한 진리표는 하나이다.
    - 그러나 동일 진리표를 만족하는 부울함수는 여러 개가 될 수 있다.
    - 따라서 동일 진리표에 대한 논리회로도는 여러 개가 될 수 있다.
        * 결론적으로 논리회로도는 단순해야 한다.
            (복잡하면 게이트 수, 게이트의 입력 수가 많아지므로 비효율적)
        * 따라서 부울함수의 단순화(간소화)가 필수

1-3) 부울함수의 간소화 필요성 

(그림 부울함수의간소화필요성)


왼쪽과 오른쪽 회로도는 동일한 진리표를 가진다.

① 부울함수의 간소화 방법

- 대수적인 방법
- 도표를 이용하는 방법
- 테이블을 이용한 방법 (입력변수가 많이 있을 때 알고리즘을 통한 간소화 ㅂ

2) 기본 공식

(그림 부울대수 간소 기본공식)

그림의 9번을 제외한 나머지는 왼쪽과 오른쪽이 대비되어있다. 이것이 쌍대정리라한다.

쌍대정리, 드모르간의 법칙이 가장 중요한 개념이다.


3) 부울함수의 대수적 간소화

3-1) 항 결합
(그림 항결합)

3-2) 간소화 예제
(그림 간소화예제)

© 2015 Jundol in 음 아마 비둘기보단 똑똑할꺼야
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